首先偏导数是针对二元或二元以上的函数,导数是针对一元函数;二阶偏导数连续,就是说二阶偏导数存在,并且二阶偏导数是连续函数;二阶导数连续就是说二阶导数存在,并且这个二阶导函数是连续函数。
具有二阶连续导数,那么必然有二阶连续偏导数
反之不为真,即具有二阶连续偏导数,不一定有二阶连续导数
把二换成一也是一样的。
函数连续偏导数不一定存在。因为偏导数存在只能保证函数在某个方向上是连续的,比如关x连续,关y连续,但是实际上,多元函数连续,其极限手段比较复杂比较多,可能是四面八方各个方向。
函数y=f(x)当自变量x的变化很小时,所引起的因变量y的变化也很小。例如,气温随时间变化,只要时间变化很小,气温的变化也是很小的;又如,自由落体的位移随时间变化,只要时间变化足够短,位移的变化也是很小的,对于这种现象,我们说因变量关于自变量是连续变化的,可用极限给出严格描述:设函数y=f(x)在x0点附近有定义,如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0),则称函数f在x0点连续。如果定义在区间I上的函数在每一点x∈I都连续,则说f在I上连续,此时,它在直角坐标系中的图像是一条没有断裂的连续曲线。
连续是偏导数存在的必要不充分条件。偏导数要存在,则函数的左极限等于右极限,左导数等于右导数,也就是说由偏导数存在能够推出函数连续,但是函数连续无法推出偏导数存在。
必要不充分条件,是逻辑学的术语之一,由A不可以推出B,由B可以推出A,则A是B的必要不充分条件。